P(A ∩ B) désigne la probabilité que deux événements A et B se réalisent simultanément. Cette grandeur se lit directement sur un arbre de probabilité : elle correspond au produit des probabilités inscrites le long d’un chemin. Comprendre ce mécanisme évite de confondre intersection, union et probabilité conditionnelle, trois notions que les exercices de Première et Terminale mélangent volontiers.
Intersection de deux événements : ce que P(A ∩ B) traduit concrètement
L’intersection A ∩ B regroupe toutes les issues qui appartiennent à la fois à A et à B. Dire « A et B se produisent en même temps » revient à isoler cette zone commune.
Prenons un exemple courant en classe. Dans un lycée, on choisit un élève au hasard. A est l’événement « l’élève est en seconde », B l’événement « l’élève est demi-pensionnaire ». P(A ∩ B) est la probabilité que l’élève soit à la fois en seconde et demi-pensionnaire. Ce n’est ni la probabilité d’être en seconde, ni celle d’être demi-pensionnaire : c’est la fraction de la population qui cumule les deux caractéristiques.
Cette lecture concrète est souvent négligée au profit du calcul pur. Les programmes récents insistent sur la capacité à interpréter P(A ∩ B) dans le contexte de l’énoncé, pas seulement à poser une multiplication.
Formule de multiplication : relier P(A ∩ B) à la probabilité conditionnelle
La formule centrale est :
P(A ∩ B) = P(A) × P(B | A)
P(B | A) se lit « probabilité de B sachant A ». Elle exprime la probabilité que B se réalise dans le cas où A est déjà réalisé. La formule fonctionne aussi dans l’autre sens : P(A ∩ B) = P(B) × P(A | B).
La multiplication traduit un enchaînement : d’abord A, puis B sous condition de A. C’est exactement ce que modélise un arbre pondéré, branche après branche.
Cas particulier : événements indépendants
Quand la réalisation de A ne modifie pas la probabilité de B, on dit que A et B sont indépendants. Dans ce cas, P(B | A) = P(B), et la formule se simplifie :
P(A ∩ B) = P(A) × P(B)
Deux lancers successifs d’une pièce non truquée illustrent cette situation. Le résultat du premier lancer n’influence pas le second. Si A est « Face au premier lancer » et B « Face au deuxième lancer », alors P(A ∩ B) = 1/2 × 1/2 = 1/4.
Pour des événements dépendants (tirage sans remise, test médical), la formule complète avec P(B | A) reste nécessaire.
Lire P(A ∩ B) sur un arbre de probabilité pondéré
Un arbre pondéré représente une expérience aléatoire en étapes successives. Chaque branche porte une probabilité. Pour trouver P(A ∩ B), on repère le chemin qui passe par A puis par B et on applique la règle du chemin.
- À chaque nœud, la somme des probabilités des branches qui en partent vaut 1. Cette propriété permet de vérifier la cohérence de l’arbre avant tout calcul.
- Le long d’un chemin, on multiplie les probabilités rencontrées. Le produit obtenu donne la probabilité de l’intersection correspondante.
- Pour calculer la probabilité totale d’un événement, on additionne les produits de tous les chemins qui y mènent.
Exemple pas à pas avec un arbre à deux niveaux
Une urne contient des boules rouges et des boules bleues. On tire deux boules successivement sans remise. A est l’événement « la première boule est rouge », B l’événement « la deuxième boule est bleue ».
Premier niveau de l’arbre : on place les branches A et son complémentaire (noté Ā). Chaque branche porte la probabilité correspondante, tirée de la composition de l’urne.
Deuxième niveau : depuis le nœud A, on trace les branches B et son complémentaire. La probabilité inscrite sur la branche B est P(B | A), qui tient compte du fait qu’une boule rouge a déjà été retirée.
Pour obtenir P(A ∩ B), on lit le chemin A puis B et on multiplie : P(A) × P(B | A). Le résultat donne directement la probabilité que la première boule soit rouge et la deuxième bleue.
Erreurs fréquentes sur P(A ∩ B) en exercice
La première confusion concerne l’addition au lieu de la multiplication. On multiplie le long d’un chemin, on additionne entre chemins distincts. Additionner P(A) et P(B | A) donne un résultat sans signification probabiliste.
La deuxième erreur revient à utiliser P(A) × P(B) quand les événements sont dépendants. Ce raccourci ne fonctionne que pour des événements indépendants. Dès qu’un tirage sans remise ou une condition modifie la composition de l’expérience, il faut passer par P(B | A).
Troisième piège : confondre P(A ∩ B) et P(A ∪ B). L’union (A ∪ B) couvre les issues où au moins un des deux événements se produit. L’intersection (A ∩ B) ne retient que les issues où les deux se produisent. La formule de l’union fait d’ailleurs intervenir l’intersection : P(A ∪ B) = P(A) + P(B) – P(A ∩ B).
Probabilités totales et formule de Bayes : prolongements directs de P(A ∩ B)
La formule des probabilités totales découle directement de la lecture d’un arbre complet. Si A et Ā forment une partition de l’univers, alors :
P(B) = P(A ∩ B) + P(Ā ∩ B) = P(A) × P(B | A) + P(Ā) × P(B | Ā)
On additionne les chemins qui aboutissent à B. Cette formule est nécessaire quand l’énoncé donne des probabilités conditionnelles dans les deux branches de l’arbre et demande P(B) seul.
Vers la formule de Bayes
La formule de Bayes permet de « remonter » l’arbre : connaissant P(B), calculer P(A | B). Elle s’écrit :
P(A | B) = P(A ∩ B) / P(B)
Le numérateur est le produit lu sur le chemin A puis B. Le dénominateur est la probabilité totale de B. Les sujets de type test médical ou contrôle qualité exploitent cette formule pour montrer qu’un résultat positif ne garantit pas la présence de la maladie, surtout quand la prévalence est faible.
La maîtrise de P(A ∩ B) conditionne donc la compréhension de toute la chaîne : probabilité conditionnelle, probabilités totales, Bayes. Construire un arbre soigné, inscrire les bonnes probabilités sur chaque branche et appliquer la règle de multiplication restent les gestes fondamentaux. Tout le reste en découle.
