Vous avez déjà vu passer la formule ln(1) = 0 dans un cours de maths sans vraiment comprendre d’où elle sort ? C’est l’une des valeurs les plus citées du logarithme népérien, et l’une des moins expliquées. Ce n’est pas une convention arbitraire : c’est une conséquence directe de ce qu’est un logarithme. Comprendre pourquoi demande de revenir à une idée simple, celle de la puissance.
Un logarithme, c’est une question de puissance
Prenons un exemple concret avant tout. Vous savez que 10 au carré vaut 100, soit 10² = 100. Si quelqu’un vous demande « à quelle puissance faut-il élever 10 pour obtenir 100 ? », la réponse est 2. C’est exactement ce que fait un logarithme en base 10 : log(100) = 2.
Le logarithme est donc la réponse à une question de puissance. Il « lit » l’exposant. C’est tout.
Le logarithme fonctionne avec n’importe quelle base. En base 2 : log₂(8) = 3 parce que 2³ = 8. En base 5 : log₅(25) = 2 parce que 5² = 25. La logique est toujours la même.
Pourquoi ln(1) = 0 : la réponse que les cours sautent
Maintenant, posez-vous cette question : à quelle puissance faut-il élever un nombre pour obtenir 1 ? Essayez avec 10 : 10⁰ = 1. Avec 2 : 2⁰ = 1. Avec n’importe quel nombre b (différent de zéro et de 1) : b⁰ = 1, toujours.
Tout nombre élevé à la puissance zéro vaut 1. C’est une propriété des puissances, pas une règle inventée pour les logarithmes.
Donc, pour n’importe quelle base valide, log(1) = 0. Ce résultat ne dépend pas du choix de la base. Le logarithme de 1 vaut toujours 0, parce que l’exposant qui donne 1 est toujours 0.
Pour le logarithme népérien, la base est le nombre e (environ 2,718). La question est : à quelle puissance faut-il élever e pour obtenir 1 ? La réponse est 0, puisque e⁰ = 1. D’où ln(1) = 0.
Qu’est-ce que la base e du logarithme naturel ?
Le nombre e est souvent présenté comme « un nombre mystérieux ». Il l’est beaucoup moins si on explique son rôle. C’est une constante mathématique, comme pi, dont la valeur approchée est 2,718. Ce qui le rend utile, c’est une propriété remarquable : la fonction eˣ est la seule fonction qui est égale à sa propre dérivée.
Dit autrement : si vous représentez eˣ graphiquement, la pente de la courbe en chaque point est exactement égale à la valeur de la fonction en ce point. Cette propriété apparaît naturellement dans des phénomènes réels comme la croissance d’une population, la désintégration radioactive ou le calcul d’intérêts composés.
Le logarithme népérien ln est simplement l’opération inverse de la fonction eˣ. Si eˣ « empile » les exponentielles, ln les « défait ».
Le lien entre ln et l’exponentielle : la clé pour tout comprendre
Les cours posent souvent ln comme une définition tombée du ciel. En réalité, ln et exp sont des fonctions réciproques l’une de l’autre. Ce que l’une fait, l’autre le défait.
Voici comment visualiser cette réciprocité :
- Si eˣ = y, alors ln(y) = x. On passe de l’un à l’autre dans les deux sens.
- ln(e¹) = 1, parce que e¹ = e et que le ln lit l’exposant, ici 1.
- ln(e⁰) = 0, parce que e⁰ = 1, et le logarithme lit l’exposant 0.
C’est pour cette raison que ln(1) = 0 et ln(e) = 1 sont les deux valeurs les plus importantes à mémoriser. Elles découlent directement de la définition, sans calcul.
Les valeurs remarquables du logarithme népérien
Au-delà de ln(1) = 0, quelques valeurs se retrouvent régulièrement dans les exercices de Terminale. Les voici avec leur justification :
- ln(1) = 0, parce que e⁰ = 1.
- ln(e) = 1, parce que e¹ = e.
- ln(e²) = 2, parce que e² = e². On lit directement l’exposant.
- ln(1/e) = -1, parce que e⁻¹ = 1/e. L’exposant négatif donne un logarithme négatif.
Remarquez le fil conducteur : ln lit l’exposant de e. Si vous réécrivez l’argument de ln comme une puissance de e, la valeur du logarithme saute aux yeux.
Logarithme décimal et logarithme népérien : ne pas confondre
Une source fréquente de confusion dans les cours de maths : le symbole « log » ne désigne pas toujours la même chose. En France, au lycée, log désigne généralement le logarithme en base 10, dit logarithme décimal. C’est celui qu’on utilise pour les calculs de pH en chimie ou pour l’échelle de Richter.
Le logarithme népérien, lui, est noté ln. Sa base est e. Les deux obéissent aux mêmes propriétés algébriques, mais ils ne donnent pas les mêmes valeurs numériques. Par exemple, log(10) = 1 tandis que ln(10) est un nombre différent de 1.
Chez les mathématiciens et les programmeurs, « log » désigne souvent ln par défaut. Le contexte compte. Au bac, vérifiez toujours quelle base est utilisée avant de calculer.
Propriétés algébriques : pourquoi ln transforme les produits en sommes
C’est une des forces du logarithme : il simplifie les calculs sur les puissances et les produits. Trois propriétés suffisent pour résoudre la majorité des exercices :
ln(a × b) = ln(a) + ln(b). Un produit devient une somme. C’est ce qui rendait les logarithmes si précieux avant les calculatrices pour les calculs astronomiques.
ln(a / b) = ln(a) – ln(b). Un quotient devient une différence.
ln(aⁿ) = n × ln(a). Une puissance devient un produit. Cette dernière propriété est au coeur de nombreuses équations exponentielles : elle permet de « faire descendre » un exposant pour le rendre accessible.
Ces trois règles découlent toutes de la relation inverse entre ln et exp. Elles ne sont pas à apprendre par coeur séparément : si vous comprenez que ln lit les exposants, elles deviennent logiques.
Le point que les cours passent souvent sous silence est précisément celui-là : ln(1) = 0 n’est pas une valeur à mémoriser mécaniquement. C’est la trace, lisible immédiatement, du fait que tout exposant nul donne 1. Partir de cette idée rend les propriétés algébriques du logarithme plus cohérentes et les calculs au bac beaucoup moins laborieux.
